Hilbert

David Hilbert (1862-1943) est l'un de ces geants dont la figure domine l'histoire des mathematiques et marque le seuil d'une epoque nouvelle. Il parcourt et transforme toutes les mathematiques, portant attention non plus a la nature des objets, la nature de l'espace en geometrie ou celle du nombre en arithmetique, mais a la structure des domaines. Ainsi, s'ouvre l'epoque abstraite ou, en France, grandira, par exemple, le groupe Bourbaki. Hilbert a indique des problemes et des voies que les mathematiciens continuent d'explorer. Ses recherches ont donne appui a de nouvelles disciplines hors des mathematiques, comme la mecanique quantique ou l'informatique, et trouve un echo inattendu hors des sciences exactes, dans la linguistique et la psychanalyse lacanienne. Avant tout, l'oeuvre de Hilbert est le developpement de la methode abstraite qui caracterise les mathematiques modernes. Cette methode, Hilbert l'applique dans tous les domaines mathematiques et, finalement, la pousse jusqu'a ses limites pour donner un fondement, une garantie derniere a la science. Le programme de fondement, que l'on a appele le programme formaliste, donne lieu aux theoremes d'incompletude, qu'etablit Godel en 1931, et aux machines de Turing. Nous suivons cette aventure, de l'emergence de la methode abstraite jusqu'au programme formaliste et aux resultats de Godel et de Turing. Nous tentons d'en degager la portee philosophique. Sont en jeu le statut de l'infini, l'extension et les caracteres de la pensee humaine.